יחידה 19: מקבילית שיעור 1. הגדרת המקבילית במקביליות שלפניכם משתמשים בסביבה ובחיי היום-יום. בדרגות בצה"ל: בדגלים: של איזו מדינה דגל זה? של איזו מדינה דגל זה? בתמרורים וסימני תנועה: באריזות אוכל: איזה תמרור זה? חפשו בבית ובאינטרנט מקביליות נוספות הנמצאות בסביבה. נגדיר מקביליות ונלמד לזהותן. המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות איזה תמרור זה? 1. באתר "מתמטיקה משולבת" במדור פעילויות באמצעות מחשב" תמצאו את הפעילות "זוגות של מקבילים". באמצעות פעילות זו תוכלו להגדיר מקבילית. בּ צעו את הפעילות בהתאם להוראות. יחידה - 19 מקבילית 349
תחליף מחשב.2 א. בש רטוט זוג ישרים מקבילים. ה עתיקו את השרטוט על דף משובץ. ש רטטו זוג נוסף של ישרים מקבילים החותכים את הזוג הראשון. איזה מרובע התקבל? ב. ש רטטו שני מרובעים נוספים, שונים מהקודם. ג. אילו מרובעים התקבלו? במה הם דומים ובמה הם שונים זה מזה : בגודל הזוויות? באורכי הצלעות? בהקבלה של הצלעות? הגדרה : מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות נקרא מקבילית. בשרטוט ABCD מקבילית. AB DC AD BC.3 המרובעים שלפניכם הם מקביליות. בכל סעיף ח שבו על - פי הנתונים שבש רטוט, את הגדלים של זוויות המקבילית. חושבים על....4 350 על מה הסתמכנו במשימה 3 כדי למצוא את הגדלים של הזוויות?
.5.6 המרובע ABCD הוא מקבילית AM חוצה את BDAB BDMA = 65 ח שבו את הגדלים של זוויות משולש.DADM המרובע ABCD הוא מקבילית AM חוצה את BDAB משולש DADM שווה - שוקיים אוסף משימות.1 א. מ צאו מקביליות בתמונה. ב. תּ נו דוגמאות למקביליות בסביבה שלכם..2 הנקודות K, L ו M - הן שלושה קדקודים של מקבילית. ה עתיקו אותן על דף משובץ. א. ש רטטו מקבילית היעזרו בהגדרה. ב. ש רטטו עוד שתי מקביליות נוספות שהנקודות,K, L ו M - הן שלושה מקדקודיה..3 בּ נו בעזרת סרגל ומחוגה מקבילית לפי הגדרתה. תּ ארו את הבנייה. 351
.4 בכל סעיף ש רטטו מרובע שאינו מקבילית. א. למרובע זוג צלעות מקבילות. ב. למרובע זוג צלעות נגדיות שוות באורכן. ג. למרובע זוג זוויות נגדיות שוות בגודלן..5.7 בשרטוט מרובע.ABCD ש רטטו ישרים מקבילים לאלכסונים דרך קדקודי המרובע. ה סבירו מדוע המרובע שהתקבל הוא מקבילית..6 המרובעים שלפניכם הם מקביליות. בכל סעיף ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית לפי הנתונים. המרובע MAR E הוא מקבילית האלכסון AE מאונך לצלע BR = 45 ח שבו את הגדלים של הזוויות בש רטוט, ומ צאו משולשים שווי - שוקיים. 352
.8 נתון ABCD מקבילית ABEC מקבילית BE = 45 BABC = 55 ח שבו את הגדלים של זוויות שלושת המשולשים..9 נתון המרובע ABCD הוא מקבילית BM חוצה את BABC BBMC = 50 ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית..10 נתון AB HP CD AC EG BD כמה מקביליות בש רטוט? ר שמו אותן..12 נתון DK AC BM AC DK = BM.11 נתון AB MK HP DC AD EG RS BC כמה מקביליות בש רטוט? A B K M C D 353
שיעור 2. תכונות הצלעות במקבילית בעיר מ ק במדינת בּ ילית הרחובות יוצרים רשת של מקביליות כמו בשרטוט שלמטה. דן הלך מנקודה A לנקודה B במסלול הכחול. גד אמר שהוא יכול לקצר את הדרך. הוא הלך במסלול האדום. האם גד צודק? נכיר תכונות של צלעות במקבילית. 1. בש רטוטים שלפניכם זוגות של צלעות סמוכות של מקבילית. א. ה עתיקו לדף משובץ וה שלימו את ש רטוט המקביליות בעזרת מקבילים לצלעות המשורטטות. ב. מ צאו תכונה נוספת של צלעות נגדיות במקבילית ונ סחו את התכונה שמצאתם כמשפט. המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות ג. ר שמו מה נתון ומה צריך להוכיח במשפט שניסחתם. ד. הוכיחו: האלכסון BD מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים. ה. ה שלימו את הוכחת המשפט שניסחתם בסעיף ב. משפט במקבילית הצלעות הנגדיות שוות באורכן. נתון ABCD מקבילית מסקנה AB = DC AD = BC יחידה - 19 מקבילית 354
חושבים על....2 נחזור לרשת הרחובות בעיר מ ק ממשימת הפתיחה (המידות במטרים). א. מה המרחק שעבר דן מהנקודה A לנקודה?B מה המרחק שעבר גד מהנקודה A לנקודה?B על - סמך איזו תכונה של המקבילית מצאתם את המרחק? ב. האם גד קיצר את הדרך? על - סמך איזו תכונה של המקבילית תוכלו להסביר? ג. מהו המרחק הקצר ביותר בין הנקודות A ו B - על - פני רשת הרחובות הזו?.3.4 G ו T - נקודות על האלכסון,BD כך ש BT = DG - מ צאו בשרטוט זוגות של משולשים חופפים. ABEC מקבילית DC = CE אוסף משימות באוסף המשימות השרטוטים הם להדגמה, ומידות האורך נתונות בס"מ..1 א. מיה יצרה מקבילית בעזרת חוט שאורכו 36 ס"מ. אורך אחת הצלעות של המקבילית 13 ס"מ. מה אורך כל אחת משלוש הצלעות האחרות? ב. מחוטים אחרים שאורך כל אחד מהם 36 ס"מ, יצרו שתי מקבליות נוספות. ש רטטו שתי מקבליות כאלה ור שמו אורכי צלעות מתאימים לכל אחת מהמקביליות. 355
.2.3 ק בעו באילו מקביליות הנתונים שגויים. ה סבירו. נתון ABCD מקבילית DM = MB האם אפשר להסיק?DK MB DLMD : אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית..4 P נקודה על AB M נקודה על DC האם אפשר להסיק?DADM DBCP : אם כן, הוכיחו. אם לא, ש רטטו דוגמה נגדית..6 נתון ABCD מקבילית BM חוצה את זווית ABC ה משיכו את הצלע AD עד לנקודת החיתוך עם חוצה הזווית. מ צאו בשרטוט משולשים שווי - שוקיים והוכיחו..7 נתון ABCD מקבילית BM חוצה את זווית ABC ה משיכו את הצלע AD עד לנקודת החיתוך עם חוצה הזווית. א. מ צאו בשרטוט משולשים שווי - שוקיים והוכיחו..5 נתון ABCD מקבילית AM חוצה את זווית A 11 ס"מ = 7,AB ס"מ = BC ח שבו את אורך.MC 4 ס"מ = BC ב. נתון 6 ס"מ = AB מ צאו בשרטוט משולשים דומים וח שבו את יחס הדמיון. 356
שיעור.3 תכונות הזוויות במקבילית נתון ABCD מקבילית. האלכסון BD מחלק את המקבילית לשני משולשים. ש ערו : אילו מסקנות אפשר להסיק לגבי הגדלים של זוויות המקבילית? נכיר תכונות של זוויות במקבילית..1 A B C D התייחסו לנתונים במשימת הפתיחה. א. BA = BC BB = BD ב. נ סחו את המשפט שהוכחתם..2 משפט במקבילית סכום הגדלים של כל שתי זוויות סמוכות שווה.180 א. ש רטטו מקבילית וכ תבו בכתיב מתמטי מה נתון ומה צריך להוכיח. משפט במקבילית הזוויות הנגדיות שוות בגודלן. משפט במקבילית סכום הגדלים של כל שתי זוויות סמוכות שווה.180 בכל סעיף נתונה מקבילית. ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית..3 ב. הוכיחו את המשפט. חושבים על....4 אייל אמר : בכל מקבילית יש שתי זוויות חדות ושתי זוויות קהות. האם אייל צודק? ה סבירו. 357
5. בכל סעיף נתונה מקבילית. ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית. ABCD מקבילית נתון 6. DT = BK AT = KC צ"ל 7. רוני אמר: אני יכול להוכיח שהאלכסון במקבילית חוצה את הזוויות. מ צאו את הטעות בהוכחה של רוני. הוכחה RA = NK RN = AK RK = RK DNRK DAKR BRKN = BRKA BNKA חוצה את RK נימוק צלעות נגדיות במקבילית צלעות נגדיות במקבילית לפי צלע, צלע, צלע המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות אוסף משימות 1. א. במקבילית גודל אחת הזוויות הוא 75. ח שבו את הגדלים של הזוויות האחרות במקבילית. ב. במקבילית גודל אחת הזוויות הוא 151. ח שבו את הגדלים של הזוויות האחרות במקבילית. יחידה - 19 מקבילית 358
.3 DEFG מקבילית ח שבו את גודל זווית BF.4 ח שבו גדלים של זוויות וק בעו אילו מהמסקנות הבאות נובעות מהנתונים. א CE = CB. ב FB = AB. ג AF = BF..2 בכל סעיף נתונה מקבילית. ח שבו את הגדלים של זוויות המקבילית. ד ΔBEC. שווה - שוקיים ה ΔDEF ΔCEB..5 R AK M מקבילית. בכל סעיף ח שבו גדלים של זוויות, וק בעו אם האלכסון R K חוצה את הזוויות BR ו BK -.6 AE חוצה את זווית BA CP חוצה את זווית BC AECP מקבילית 359
.7.8 טענה : חוצי זוויות סמוכות במקבילית מאונכים זה לזה. האם הטענה נכונה? אם כן, הוכיחו. אם לא, ה סבירו. CE חוצה זווית BC DECB שווה - שוקיים B A E C.9.10 נתון B A חוצי הזוויות D ו C - נפגשים על הצלע AB AB = 2BC D R B חוצה זווית BB EC חוצה זווית BC א abrc = 90. ב ER = RC. D C B E A R D C.11 מרובע ABCD הוא מקבילית. דרך הקדקוד A ש רטטו מקביל לאלכסון BD של המקבילית. המקביל חותך את המשך הצלע CB בנקודה E ואת המשך הצלע CD בנקודה.G א. ש רטטו ומ צאו כמה מקביליות בש רטוט. ב. הוכיחו כי הנקודות A, B ו D - הן אמצעי צלעות המשולש.CEG ג. ח שבו את יחסי השטחים בין משולש ΔECG ובין מקבילית.ABCD 360
שיעור 4. תכונות האלכסונים במקבילית נתון: ABCD מקבילית. ארבע נמלים עומדות בנקודה M הנמלים הולכות באותה מהירות. כל נמלה הולכת בקו ישר לאורך חלק מהאלכסון לעבר אחד הקדקודים ש ערו: האם כל הנמלים תגענה באותו זמן אל הקדקודים? האם חלק מהן תגענה באותו זמן? נכיר תכונות של אלכסונים במקבילית. 1. ש ערו: איזו טענה נכונה? אם הטענה נכונה, הוכיחו. אם לא, ה סבירו או ש רטטו דוגמה נגדית. א. האלכסונים במקבילית שווים באורכם. ב. האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. ג. האלכסונים במקבילית חוצים את זוויות המקבילית. ד. האלכסונים במקבילית מאונכים זה לזה. 2. נחזור למשימת הפתיחה. בּ דקו את השערתכם ות קנו. מצאנו תכונה נוספת של מקבילית. משפט אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים חוצים זה את זה. 3. נתון ABCD מקבילית הקטע FG עובר דרך נקודת מפגש של האלכסונים )K( צ"ל FK = KG המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות 4. נתון ABCD מקבילית AE = CP התלמידים התבקשו להוכיח כי BEDG = BPBG אייל אמר: צריך לחפוף קודם את המשולשים ΔADE ו- ΔCBP ורק לאחר מכן לחפוף את המשולשים ΔEDG ו-.ΔPBG עידן אמר: יש מספיק נתונים כדי לחפוף רק את ΔEDG ו-.ΔPBG האם עידן צודק? בּ חרו באחת האפשרויות והוכיחו. יחידה - 19 מקבילית 361
בעקבות....5 נתונה מקבילית שאינה מלבן. א. האם אפשר לשרטט מעגל העובר דרך ארבעת קדקודי המקבילית? ה סבירו. ב. האם אפשר לשרטט מעגל העובר דרך שני קדקודים סמוכים של המקבילית? אם כן, היכן יכול להיות מרכז המעגל? ה סבירו. ג. האם אפשר לשרטט מעגל העובר דרך שני קדקודים נגדיים של המקבילית? אם כן, היכן יכול להיות מרכז המעגל? ה סבירו. הגדרה : מרובע בעל שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות נקרא מקבילית תכונות המקבילית אם מרובע הוא מקבילית, אז הצלעות הנגדיות שלו שוות באורכן. תנאים מספיקים לזיהוי מקבילית נלמד ביחידה הבאה. אם מרובע הוא מקבילית, אז הזוויות הנגדיות שלו שוות בגודלן. אם מרובע הוא מקבילית, אז סכום הגדלים של כל שתי זוויות סמוכות שווה.180 אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה. אוסף משימות.1 362 נתון ABCD מקבילית 6 ס"מ = 8,AB ס"מ = 10,AC ס"מ = DB מ צאו את היקף המשולש.DDMC
.2 DEBA מקבילית 8 BDBE = 75 BDAE = 30 ס"מ = AE א. מ צאו משולשים שווי - שוקיים. ה סבירו את שלבי החישוב. ב. מהו אורך הצלע?AD ה סבירו..3 R EDA מקבילית 5,BAED = 60,BDR A = 60 ס"מ = AR א. מ צאו בש רטוט משולשים שווי - צלעות ונ מקו. ב. ח שבו את אורכי האלכסונים ואת הגדלים של זוויות המקבילית..4.5 TM = MK AE = CM הקטע KT עובר דרך נקודת מפגש האלכסונים ( )M DE BM.6.7 הנקודה E היא מפגש אלכסוני המקבילית MB = GD,DR = BT,MA = GC,CT = AR AC BE BD EC CE =DM 363